CIRCUNFERENCIA

Ecuación Ordinaria de la Circunferencia

Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y con radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

Ecuación Canónica de la Circunferencia

Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3

x ² + y ² = 3²

Ecuación General de la Circunferencia

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:Prueba:Ejemplo:

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²

x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16

x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0

x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0

D = -4 , E = -12 , F = +24

Observaciones:

Dada la ecuacion de la circunferencia x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se cumple que:

MEDIATRIZ

Punto medio de un segmento
El punto medio de un segmento es el punto del segmento situado a la misma distancia de los dos extremos.
Mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.


Actividad 1

Pulsa el botón "mediatriz"  y selecciona el segmento AB en la Vista Gráfica. Verás cómo aparece dibujada su mediatriz.

Prueba a mover los extremos del segmento y observa lo que ocurre con la mediatriz. Actualiza la Vista Gráfica.

Utiliza el botón "segmento"  para crear otro segmento y después dibujar su mediatriz.

Guarda el archivo como "mediatrices".

Nota:

¡Ojo! En la barra de herramientas que aparece por defecto al iniciar GeoGebra, el botón "mediatriz"  se encuentra en el menú desplegable del botón "recta perpendicular" 

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Actividad 2

En el siguiente applet aparecen un segmento y un punto Q.  Se muestran también las distancias entre el punto Q y los dos extremos del segmento, A y B.

Mueve el punto Q sin mover los extremos del intervalo. Ve fijándote en las distancias que aparecen. 

¿Qué sucede cada vez que pasas por un punto que esté a la misma distancia de los dos extremos del intervalo?

Localiza varios de estos puntos y ve fijándote en el rastro que dejan.

¿Forman una curva o están alineados? 

Marca la casilla "Ver mediatriz". ¿Con qué coincide?

El punto P es un punto de la mediatriz, muévelo y fíjate en su distancia  a los extremos del segmento.

Actualiza la vista gráfica y mueve los extremos del segmento y a continuación vuelve a mover el punto P de la mediatriz.

¿Puedes enunciar alguna propiedad que cumplan todos los puntos de la mediatriz?

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Conclusiones actividad 2

Todos los puntos que están a la misma distancia de los extremos de un segmento están alineados.

Esa línea recta es precisamente la mediatriz del segmento.

 
Propiedad de la mediatriz

Todos los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de los extremos del segmento.

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

El nombre que recibe la Expresión algebraica (Función) que determine a una Recta dada se denomina Ecuación de la Recta.

Geometría analítica de la recta en el plano

La Geometría Analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de Geometría. En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.

Ecuación de la recta

Una recta puede ser expresada mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada pendiente de la recta y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el Plano. Mientras que b es el término independiente y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Pendiente de una recta

En una recta, la pendiente es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación: A partir de la fórmula de la pendiente se puede obtener la ecuación de la recta (ecuación punto-pendiente): Cuando de una recta se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus punto se puede obtener la ecuación de dicha recta.

Ecuación general de la recta

Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un Plano cartesiano), con Abscisas (x) y Ordenadas (y). • Aclaración: Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano. Conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación: Ax + By + C = 0, y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta.

Formas de la ecuación de una línea recta

• Ecuación de la recta que pasa por el origen: y = mx
• Ecuación de la recta conocida su pendiente e intercepto con el eje y: y = mx + b (pendiente m y su intercepto b con el eje y).
• Ecuación de la recta que pasa por un punto y pendiente conocida: y = mx + (y1 – mx1). Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por: b = y1 – mx1.
• Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
• Ecuación segmentaria de la recta: (Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente).
• Ecuación general de la recta: Ax + By + C = 0

ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA

La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.


a es la abscisa en el origen de la recta.
b es la ordenada en el origen de la recta.

Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general.

Si y = 0 resulta x = a.
Si x = 0 resulta y = b.

Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos:
1Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n
2Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k
3Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx.

Ejemplos

Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades, respectivamente. Hallar su ecuación.


Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por P(−2, 1) y tiene por vector director v = (3, −4).
Hallamos la ecuación en forma continua:

Pasamos a la general:

−4x −8 = 3y -3 4x + 3y + 5 = 0

Si y = 0  x = −5/4 = a.

Si x = 0  y = −5/3 = b.


La recta r ≡ x − y + 4 = 0 forma con los ejes un triángulo del que se pide su área.
La recta forma un triángulo rectángulo con el origen y sus catetos son la abscisa y la ordenada en el origen.

Si y = 0  x = −4 = a.

Si x = 0  y = 2 = b.

La ecuación canónica es:

El área es:

Una recta pasa por el punto A(1. 5) y determina con los ejes de coordenadas un triángulo de 18 u² de superficie. ¿Cuál es la ecuación de la recta?

Aplicamos la ecuación canónica:

El área del triángulo es:

Resolvemos el sistema:

Hallar la ecuación de una recta que determina sobre los ejes coordenados, segmentos de doble longitud en el eje de abscisas, que en el de ordenadas, sabiendo que pasa por el punto A(3, 2).

LA RECTA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Estos son varios ejemplos de lugares geométricos en el plano:

• El lugar geométrico de los P que equidistan a dos puntos fijos A y B (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que interseca perpendicularmente a un segmento AB en su punto medio ((A + B) / 2).

• La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de equidistar a las dos anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.

• Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).

Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares geométricos:

• Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio).

• Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del semieje mayor de la elipse).

• La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz.

• La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.

Figuras muy complejas pueden ser descritas mediante el lugar geométrico generado por los ceros de una función o de un polinomio. Por ejemplo, las cuádricas están definidas como el lugar geométrico de los ceros de polinomios cuadráticos. En general, los lugares geométricos generados por los ceros del conjunto de polinomios reciben el nombre de variedad algebraica, las propiedades de dichas variedades se estudian en la geometría algebraica. q ue es radio es un circulo grande q nos sirve para poder calcular las medidas de un circulo

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Cuando graficas dos o más ecuaciones lineales en el plano de coordenadas, generalmente se cruzan en algún punto. Sin embargo, cuando dos rectas en un plano coordenado nunca se cruzan, se llaman rectas paralelas. También veremos el caso cuando dos rectas en el plano de coordenadas se cruzan en un ángulo recto. Estas se llaman rectas perpendiculares. Las pendientes de las gráficas en cada uno de los casos tienen una relación especial entre ellas.

Explorando Rectas Paralelas y Perpendiculares

Las rectas paralelas son dos o más rectas en un plano que nunca se intersectan. Hay muchos ejemplos de rectas paralelas como los lados opuestos del marco rectangular de una pintura y los estantes de un librero.

Las rectas perpendiculares son dos o más rectas que se intersectan formando un ángulo de 90 grados, como las dos rectas dibujadas en la gráfica. Los ángulos de 90 grados también se llaman ángulos rectos.

Las rectas perpendiculares también están en todos lados, no sólo en una gráfica en papel sino en el mundo real, desde el patrón de cruce en las calles a la intersección de las líneas coloreadas de una camisa a cuadros.

Explora las rectas en el diagrama interactivo siguiente.

o        Haz clic y arrastra el punto en el deslizante “Ecuación” para elegir uno de 5 ejemplos de ecuaciones. La ecuación se grafica en azul.

o        Luego, haz clic y arrastra el punto en la recta roja para hacerla paralela o perpendicular a la recta azul. (Asegúrate de mover lentamente el cursor.) ¡Cuando las rectas son paralelas o perpendiculares, aparecerá un texto para avisarte que ya le atinaste!

o        Observa las pendientes de las dos rectas paralelas. ¿Qué es lo que notas? Observa las pendientes de las rectas perpendiculares. ¿Qué es lo que notas?

o        Escoge otra ecuación e inténtalo de nuevo.

o        Conforme intentas con otras ecuaciones, observa la relación entre las pendientes de rectas paralelas, y las pendientes de rectas perpendiculares. Al intentar con la última ecuación, ¿puedes predecir cuáles serán las pendientes de las rectas paralelas y perpendiculares?

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De la primera exploración, habrás notado lo siguiente.

Rectas Paralelas Dos rectas no verticales en un plano son paralelas si tienen: o       la misma pendiente o        distintas intersecciones en y Cualquier par de rectas verticales en un plano son paralelas.

Ejemplo
Problema	Encontrar la pendiente de una recta que es paralela a la recta y = −3x + 4.
	La recta dada se escribe como y = mx + b, con m = −3 y b = 4. La pendiente es −3.	Identifica la pendiente de la recta dada.
Respuesta	La pendiente de la recta paralela es −3.	Una recta paralela a la recta dada tiene la misma pendiente.

Ejemplo
Problema		Determina si las rectas y = 6x + 5 y y = 6x – 1 son paralelas.
	La recta dada se escribe como y = mx + b con m = 6 para la primera recta y m = 6 para la segunda recta. La pendiente de ambas rectas es 6.		Identifica la pendiente de la recta dada.
	La primera recta tiene una intersección en <i>y</i> en (0, 5), y la segunda recta tiene una intersección en <i>y</i> en (0, −1). No son la misma recta.		Observa b, el valor de y de la intersección en <i>y</i>, para ver si las rectas son la misma, en cuyo caso no decimos que son paralelas.
Respuesta		Las rectas son paralelas.	Las pendientes de las rectas son las mismas y tienen diferentes intersecciones en y, entonces no son la misma recta y son paralelas.

Rectas Perpendiculares Dos rectas no verticales son perpendiculares si la pendiente de una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra. Si la pendiente de la primera ecuación es 4, entonces la pendiente de la segunda ecuación será  porque las rectas son perpendiculares.

También puedes probar las pendientes para ver si las rectas son perpendiculares multiplicando las dos pendientes. Si son perpendiculares, el producto de las pendientes será −1. Por ejemplo, .

Ejemplo
Problema	Encontrar la pendiente de la recta perpendicular a la recta y = 2x – 6.
	La recta dada se escribe como y = mx + b, con m = 2 y b = -6. La pendiente es 2.	Identifica la pendiente de la recta dada.
Respuesta	La pendiente de la recta perpendicular es .	Para encontrar la pendiente de la recta perpendicular, encuentra el recíproco, , y luego encuentra el opuesto del recíproco .

Observa que el producto , lo que significa que las pendientes son perpendiculares.

En el caso donde una de las rectas es vertical, la pendiente de esa recta no está definida y no es posible calcular el producto de un número indefinido. Cuando una recta es vertical, la recta perpendicular a ella será horizontal, teniendo una pendiente de cero (m = 0).

Ejemplo
Problema	Determinar si las rectas y = −8x + 5 y  son paralelas, perpendiculares, o ninguna.
	Las rectas dadas están escritas en la forma y = mx + b, con m = −8 para la primera recta y m =  para la segunda recta.	Identifica las pendientes de las rectas dadas.
	−8 ≠ , entonces las rectas no so paralelas. El recíproco opuesto de −8 es , entonces las rectas son perpendiculares.	Determina si las pendientes son la misma o si son recíprocas opuestas.
Respuesta	Las rectas son perpendiculares.	Las pendientes de las rectas son recíprocas opuestas, por lo que las rectas son perpendiculares.

¿Cuáles de las siguientes rectas son perpendiculares a la recta ? A)  y  B)  y  C)  D) Todas las rectas son perpendiculares. Mostrar/Ocultar Respuesta

Escribiendo Rectas Paralelas y Perpendiculares

Las relaciones entre pendientes de rectas paralelas y perpendiculares pueden usarse para escribir ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares.

Empecemos con un ejemplo de rectas paralelas.

Ejemplo
Problema	Escribir la ecuación de una recta que sea paralela a la recta x – y = 5 y pase por el punto (−2, 1).
	x – y = 5 −y = −x + 5 y = x – 5	Reescribe, si es necesario, la recta que quieres que sea paralela de la forma y = mx + b.
	En la ecuación anterior, m = 1 y b = −5. Como m = 1, la pendiente es 1.	Identifica la pendiente de la recta dada.
	La pendiente de la recta paralela es 1.	Para encontrar la pendiente de una recta paralela, usa la misma pendiente.
	y = mx + b 1 = 1(−2) + b	Usa el método para escribir una ecuación a partir de la pendiente y un punto en la recta. Sustituye 1 por m, y el punto (−2, 1) por x y y.
	1 = −2 + b 3 = b	Resuelve b.
Respuesta	y = x + 3	Escribe la ecuación usando la nueva pendiente para m y la b que acabas de encontrar.

Cuando trabajas con rectas perpendiculares, normalmente tendrás una de las rectas y un punto adicional.

Ejemplo
Problema	Escribir la ecuación de una recta que contenga el punto(1, 5) y sea perpendicular a la recta y = 2x – 6.
	La recta dada se escribe en la forma y = mx + b, como m = 2 y b = -6. La pendiente es 2.	Identifica la pendiente de la recta con la que tu recta debe ser perpendicular.
	La pendiente de la recta paralela es .	Para encontrar la pendiente de una recta perpendicular, encuentra el recíproco, , y luego su opuesto, .
		Usando el método de escribir una ecuación a partir de su pendiente y un punto en la recta. Sustituye  por m, y el punto (1, 5) por x y y.
		Resuelve b.
Respuesta		Escribe la ecuación usando la nueva pendiente para m y la b que acabas de encontrar.

¿Cuál de la siguientes es la ecuación de una recta paralela a y = −2x – 14 y pasa por el punto (−3, 1)? A) y = −2x + 1 B)  C)  D) y = −2x – 5 Mostrar/Ocultar Respuesta

Ejemplo
Problema	Escribir la ecuación de una recta que sea paralela a y = 4.
	y = 4 y = 0x + 4	Reescribe, si es necesario, la recta en la forma y = mx + b. Podrás haber notado sin hacerlo que y = 4 es una recta horizontal 4 unidades sobre el eje-x. Porque es horizontal, y sabes que la pendiente es cero.
	En la ecuación anterior, m = 0 y b = 4. Como m = 0, la pendiente es 0. Esta es una recta horizontal.	Identifica la pendiente de la recta dada.
	La pendiente de la recta paralela también es 0.	Para encontrar la pendiente de una recta paralela, usa la misma pendiente.
	y = 10	Como la recta paralela será una recta horizontal, su forma es y = una constante. Escoge una constante para crear la recta paralela.
Respuesta	y = 10	Esta recta es paralela a y = 4 e intersecta el eje-y en (0, 10).

Sumario

Cuando rectas en un plano so paralelas (es decir, nunca se cruzan), tienen la misma pendiente. Cuando rectas son perpendiculares (es decir, se cruzan formando un ángulo de 90°), sus pendientes son recíprocas opuestas una de la otra. El producto de sus pendientes siempre será -1, excepto en el caso donde una de las rectas es vertical, porque su pendiente no está definida. Puedes usar estas relaciones para encontrar la ecuación de una recta que pase por un punto en particular y que sea paralela o perpendicular